Bodrogi (Buzik) Károly magántisztviselő és Kohn Klára fiaként született Budapesten, Angyalföldön. Bár már gyerekként is szerette produkálni magát – saját bevallása szerint 9 évesen lépett fel először Pápán, egy háborús darabban -, mégis iskolás korában még matematikatanárnak készült.
A VIII. kerületi Bezerédi utcai általános iskolába járt, majd a budapesti Vörösmarty Mihály Gimnáziumban érettségizett, majd 1954-ben a Színház- és Filmművészeti Főiskola hallgatója lett, ahol 1958-ban szerzett diplomát. A 4 év alatt állítólag összesen 17 fegyelmit kapott, egyszer ki is rúgták a főiskoláról, Básti Lajos közbenjárására kerülhetett csak vissza. Pályáját azután 17 évesen néptáncosként kezdte, 1951–1954 között a SZOT együttes szólótáncosa volt.
1958–1982 között a József Attila Színház tagja volt. 1975-től a Színház- és Filmművészeti Főiskola tanára. 1982–1996 között a Vidám Színpad művészeti igazgatója és rendezője volt, majd 1997-től 2001-es lemondásáig a főváros által létrehozott akkor még az előbbivel azonos nevű Centrál Színház első vezetője lett. Schiffer János budapesti főpolgármester-helyettestől 2002-ben itt kapta meg a Vidám Színpad örökös tagja címet. 2002-től szabadfoglalkozású. 2003-tól a Nemzeti Színház művésze. Emlékezetes alakítást nyújtott a Szókimondó asszonyság, az Imádok férjhez menni, az Egy szerelem három éjszakája, A kaktusz virága, a Koldusopera, a Szomorú vasárnap, a Charley nénje, a Kabaré című darabokban.
Moziban még főiskolásként, 1957-ben tűnt fel a Külvárosi legenda című, Máriássy Félix rendezte filmben. Emlékezetes filmje volt a Házasságból elégséges (1961), a Hattyúdal (1963), a Húsz óra (1965), a Tanulmány a nőkről (1967), a Fuss, hogy utolérjenek! (1972), a Szépek és bolondok (1976), a Hogyan felejtsük el életünk legnagyobb szerelmét? (1980).
A hetvenes évek végétől a Gellért-hegyi Ménesi út lakója.
Első felesége Törőcsik Mari volt, akivel 1956. december 7-én Budapesten, a VIII. kerületben kötött házasságot, a második Voith Ági, akivel közös gyermekük: Bodrogi Ádám. Élettársa: Vass Angéla egykori modell, manöken.
